Modélisation et applications
On utilise de plus en plus les termes « modélisation et
applications » pour désigner toute relation entre les
mathématiques et les applications concrètes. « Appliquer
les mathématiques » signifie utiliser les mathématiques
pour résoudre des problèmes concrets alors qu’une
situation pouvant être réglée par leur entremise est une
« application » des mathématiques.
De son côté, le terme modélisation est le
processus de représentation du comportement d’un système
concret au moyen d’une collection d’équations
mathématiques. En d’autres mots, la modélisation est
centrée sur la transition de la réalité aux
mathématiques alors que l’application se rapporte plutôt
à la transition contraire, soit des mathématiques à la
réalité. La modélisation permet aux étudiants de mieux
comprendre les concepts mathématiques de même que
d’apprendre à formuler et à résoudre des problèmes
centrés sur les applications.
Les modèles mathématiques servent à faciliter la
compréhension des systèmes physiques. Les ingénieurs les
utilisent pour représenter les éléments de tout système.
Conçus pour des éléments fabriqués et des dispositifs,
ces modèles nous aident à comprendre ainsi qu’à établir
les caractéristiques de leur fonctionnement.
On peut modéliser des systèmes, tels que les
systèmes de fabrication, en utilisant certains outils et
techniques, dont la simulation. La simulation est
une technique de construction de modèle d’un système
(réel ou proposé), modèle qui permet d’étudier le
comportement du système sous différentes conditions dans
le temps.
Leçons de modélisation
Outils de construction de modèles
Le développement de modèles nécessite des outils
mathématiques particuliers. Les ingénieurs utilisent
des expressions mathématiques telles que les équations
limitées pour décrire, analyser et communiquer des
modèles de dispositifs physiques ainsi que leur
comportement. Les quantités représentées dans ces
expressions diffèrent des valeurs numériques pures et
l’algèbre utilisée dans les opérations où elles entrent
en jeu doit prendre en compte des éléments autres que
les nombres comme l’uniformité dimensionnelle et les
unités de mesure. Les outils mathématiques dont les
étudiants ont besoin sont de niveau plus avancé et leur
permettent de modéliser des problèmes physiques tels que
la marche humaine, le mouvement des fluides, les profils
thermiques et les circuits électriques.
L’algèbre et la géométrie
Nous devons parler avant tout de l’algèbre. Tout
étudiant amorçant des études universitaires et qui
connaît l’algèbre est capable d’affronter n’importe quel
obstacle. L’étudiant ne doit pas seulement s’attarder au
« comment » de l’algèbre, mais aussi à la raison pour
laquelle chaque technique fonctionne de même qu’aux
situations où elle est permise. Le fait de prendre des
cours de préparation au calcul ou de trigonométrie à
l’école secondaire peut sembler très excitant, mais une
base solide en algèbre s’avérera beaucoup plus utile. La
géométrie est un autre sujet important. Elle donne à
l’étudiant l’opportunité d’apprendre comment effectuer
des preuves, un talent indispensable dans les
mathématiques de haut niveau. La trigonométrie sera très
utile, mais on retrouve ce sujet dans plusieurs cours de
mathématiques du secondaire, même dans les cours qui ne
se spécialisent pas en trigonométrie.
Fonctions et relations
En science et en génie, il est possible de décrire et de
résoudre de nombreux problèmes avec l’aide de fonctions.
Une quantité physique est soit une quantité constante ou
une quantité de fonction. La masse dans notre exemple de
modèle est une quantité constante, par exemple 5 kg.
L’altitude d’une particule au fil du temps est une
quantité de fonction, établissant des quantités de temps
face à des quantités de longueur. En général, les
fonctions d’importance en génie comprennent les
fonctions algébriques et transcendantales ainsi que
leurs propriétés et leurs inverses. Par exemple, les
fonctions élémentaires (sinus, cosinus, tangente, les
exponentielles et les logarithmes) sont les fonctions
mathématiques les plus utilisées en science et en génie.
Les fonctions complexes sont des outils utiles en génie,
surtout lorsqu’elles sont utilisées avec des systèmes
d’algèbre informatique. Les champs principaux
d’applications comprennent les champs vectoriels stables
en génie mécanique et électrique tels que la dynamique
des fluides, le flux de la chaleur, les champs
électromagnétiques, les systèmes de contrôle et le
traitement des signaux.
Les scalaires et les vecteurs
Les
quantités physiques comprennent non seulement les
scalaires, mais aussi les vecteurs, distincts des
scalaires par le fait que la spécification totale d’une
constante vectorielle exige une direction, une
orientation. Les étudiants devraient être capables de
différencier les quantités scalaires des quantités
vectorielles. Nous offrons une liste des quantités
scalaires et vectorielles, quantités que les étudiants
verront au courant de leurs études. La force en tant que
quantité physique en génie pourrait être un bon exemple
de vecteur. On pourrait aborder le problème du calcul de
la force relative à deux charges dans un espace donné.
Le problème peut facilement être visualisé et les
étudiants peuvent se servir de leur propre expérience en
électricité.
Les matrices et l’algébrique linéaire
Les matrices et l’algèbre linéaire en particulier aident
les ordinateurs à résoudre des problèmes algébriques.
Les étudiants éprouvent assez souvent de la difficulté
lorsque confrontés aux différentes notations utilisées
dans les équations algébriques. Ils ont souvent mémorisé
des algorithmes fondés sur une seule forme de notation.
Le calcul
Les dérivées, les intégrales et les limites sont les
éléments fondamentaux du calcul. Le calcul est surtout
utile comme base au calcul de hauts niveaux tel que le
calcul multivariable qui, comme son nom l’indique, est
le même type de calcul, mais appliqué à trois dimensions
ou plus. Dans un contexte plus pratique, cette technique
sert à résoudre des problèmes touchant plusieurs
dimensions telles que la température, les vitesses des
ports, les vitesses de traitement, la résistance, le
voltage, etc. Selon notre expérience, les étudiants sont
moins à l’aise avec les concepts des dérivés et des
intégrales. Le calcul est le type de mathématiques le
plus avancé au niveau secondaire alors qu’à
l’université, il constitue une des formes de
mathématiques étudiées les moins avancées. Le résultat
est la co-existence de diverses méthodes
d’apprentissage.
Les équations différentielles
Les équations différentielles semblent être difficiles
à comprendre pour de nombreux étudiants. Elles servent à
construire des modèles mathématiques de phénomènes
physiques tels que les systèmes de contrôle, la
dynamique des fluides et la mécanique céleste. Les
physiciens et les ingénieurs s’intéressent au calcul des
solutions aux équations différentielles. Ces solutions
sont habituellement utilisées dans la résolution de
divers problèmes en génie.
Génie
inversé
|
